천장 시스템은 기대 횟수를 얼마나 줄여줄까

천장이란

천장은 정해진 횟수 안에 원하는 보상이 나오지 않으면 마지막 회차에 확정으로 지급하는 제도입니다. 확률형 아이템의 가장 큰 불만인 “끝이 보이지 않는 지출”에 상한선을 그어 줍니다.

게임마다 형태가 다릅니다. 정확히 N회째에 확정되는 단순한 형태가 있고, 일정 횟수 이후 확률이 점점 오르는 형태, 천장 보상이 원하는 대상일 확률이 절반인 형태도 있습니다. 이 글은 가장 단순한 “N회째 확정”을 기준으로 설명합니다.

기대 횟수 공식 유도

천장이 N회일 때, k번째 뽑기를 하게 될 확률은 앞의 k − 1번이 모두 실패할 확률 (1 − p)^(k−1)입니다. 기대 횟수는 “각 회차를 실제로 뽑게 될 확률”을 1회차부터 N회차까지 더한 값과 같습니다.

이는 등비수열의 합이므로 (1 − (1 − p)ᴺ) ÷ p로 정리됩니다. 천장이 없을 때의 기대 횟수 1 ÷ p에 (1 − (1 − p)ᴺ)를 곱한 값이라고 이해하면 쉽습니다. 천장이 짧을수록 이 곱하는 값이 작아집니다.

예시: 0.6% 확률, 90회 천장

천장이 없다면 기대 횟수는 1 ÷ 0.006 ≈ 167회입니다. 90회 천장이 있으면 (1 − 0.994⁹⁰) ÷ 0.006 ≈ 69.7회로 줄어듭니다.

흥미로운 점은 천장까지 갈 확률입니다. 89번 연속 실패할 확률은 0.994⁸⁹ ≈ 58.5%입니다. 즉 이런 조건에서는 절반 넘는 사람이 천장 보상으로 캐릭터를 얻게 됩니다. 이 경우 천장은 “운 나쁜 사람을 위한 안전장치”라기보다 사실상 기본 경로에 가깝습니다.

천장이 예산 계획을 바꾸는 방식

천장이 있으면 최대 지출이 확정되므로 예산은 “천장 × 1회 비용”으로 잡는 것이 가장 안전합니다. 평균은 그보다 적게 들지만, 위 예시처럼 천장 도달 확률이 높은 구조라면 평균보다 천장에 가까운 지출을 각오하는 편이 현실적입니다.

천장 카운트가 다음 배너로 이월되는 게임이라면, 이미 쌓은 횟수만큼 남은 천장이 줄어든 것으로 보고 다시 계산하면 됩니다.

반천장 구조는 따로 생각하기

천장 보상이 원하는 캐릭터일 확률이 50%이고, 실패하면 다음 천장이 확정이 되는 구조에서는 최악의 경우가 천장의 2배입니다. 이 구조의 정확한 기대 횟수는 확률 상승 구간 등 세부 규칙에 따라 달라지므로, 보수적으로 “천장 × 2”를 최대 예산으로 두는 것이 안전합니다.

자주 묻는 질문